BAB 5 MOMEN ,KEMIRINGAN DAN KURTOSIS

TUGAS BAB 5 MOMEN , KEMIRINGAN ,DAN KURTOSIS
TUGAS KULIAH BAB V
MOMEN KEMIRINGAN DAN KURTOSIS


A.          Momen
             Misal diketahui variabel  X dengan harga X1, X2, X3 . . . .   Xn. Jika A sebuah bilangan tetap dan r = 0, 1, 2, 3,      maka momen di sekitar A disingkat m’rdidefinisikan oleh
Dengan
n = , Xi = tanda kelas interval dan fi = frekuensi yang sesuai dengan Xi.
Dengan menggunakan cara coding, rumusnya:
m’r = , P = Panjang kelas, C = Variabel koding.
Dari m’r harga-harga mr dapat ditentukan berdasarkan hubungan:
m2 = m2’ – (m1’)2
m3 = m3’ – 3m1’ + m2 + 2(m1’)3
m4 = m4’ – 4m1’ + 6 (m1’) m2 – 3 (m1’)

Untuk menghitung momen disekitar rata-rata, untuk data dalam daftar distribusi frekuensi, kita lakukan sebagai berikut:
TABLE  5.1: Table pembantu untuk mencari m
Data
f1
Ci
f1Ci
f1C12
f1C13
f1C14
60 – 63
64 – 67
68 – 71
72 – 75
76 – 70
5
18
42
27
8
-2
-1
0
1
2
-10
-18
0
27
16
20
18
0
37
42
-40
-18
0
27
64
80
18
0
27
128
Jumlah
100

15
97
35
253

Dapat dihitung:
m1 =
m2 =
m3 =
m4 =
Sehingga dengan menggunakan hubungan di atas:
m2 = m2’ – (m1’)2 = 15,52 – 0,36 = 15,16
m3 = m3’ – 3m1’ m2’ + 2(m1’)3 = 5,28 – 3x0,6x15,52 +2x (0,6) = 21,456
m4 = m4’ – 4m1’ m3’ + 6 (m1’)2 (m2’)...........
=  40,48 – 4x0,6 x 5,28 + 6 x 0,6        2x15,52 – 3x0,42
= 60,9424
Jadi Varian S2 = m2 = 15,16





B.KEMIRINGAN

Kurva distribusi normal, yang tidak terlalu rucing atau tidak terlalu datar. Dinamakanmesokurtik,
kurva yang runcing dinamakan leptokurtik sedangkan yang datar disebut platikurtik.
Salah satu ukuran kurtosis ialah koefisien kurtosis, diberi simbol a4, ditentukan denganrumus a4 = (m4/m)
Kriteria yang didapat dari rumus ini ialah:
a) a4 = 3    à        Distribusi normal
b) a4 > 3    à        Distribusi yagn leptokurtik
c) a4 < 3     à        Distribusi yang platikurtik

Untuk mengetahui apakah distribusi normal atau tidak sering pula dipakai koefisien kurtosis persentil, diberi simbul:
κ =
SK = rentang semi antar kuartil
K3 = kuartik ketiga
K1 = kuartil kedua
P10 = persentil kesepuluh
P90 = persentil ke 90
Untuk distribusi normal, harga κ  = 0,263

Untuk contoh di atas telah di dapat m4 = 60,9424, sedangkan m = 15,17 sehingga besarnya koefisien kurtosis a4 = (m4/m) = 60,9424/229,8256 = 0,265, ini kurang dari 3, jadi kurvanya cenderung aman platikurtik.
Contoh: data nilai ujian Fisika dasar dari 80 mahasiswa, akan kita cari koefisien kurtosis persentil besarnya:

κ =

Dimana K1 dan K3 telah kita hitung; K1 = 81,676 dan K3 = 61,75, adapun datanya telah disusun dalam daftar sebagai berikut:
No
Nilai Ujian
Fi
1
2
3
4
5
6
7
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 – 100
3
5
10
16
24
17
5

Jumlah
80

Dengan menggunakan rumus Pi = b + P dimana P = panjang kelas dapat dihitung P10 dan P90.
P10 akan terletak pada data ke , yaitu pada kelas interval ke 2 sehingga b = 40,5, P = 10; F = 3 f = 5
P10 = 40,5 + 10 = 50,5
P90 akan terletak pada data ke , yaitu pada kelas interval keenam, sehingga b = 80,5, P = 10, F = 8, f = 17
P90 = 80,5 + 10 = 81,32

BAB 3 UKURAN PEMUSATAN

Salah satu aspek yang paling penting untuk menggambarkan distribusi data adalah nilai pusat data pengamatan (Central Tendency). Setiap pengukuran aritmatika yang ditujukan untuk menggambarkan suatu nilai yang mewakili nilai pusat atau nilai sentral dari suatu gugus data (himpunan pengamatan) dikenal sebagai ukuran pemusatan data (tendensi sentral). Terdapat tiga ukuran pemusatan data yang sering digunakan, yaitu:
Mean (Rata-rata hitung/rata-rata aritmetika)
Median
Mode
1.     Rata – rata (mean)
Rata-rata hitung atau arithmetic mean atau sering disebut dengan istilah mean saja merupakan metode yang paling banyak digunakan untuk menggambarkan ukuran tendensi sentral. Mean dihitung dengan menjumlahkan semua nilai data pengamatan kemudian dibagi dengan banyaknya data.
Contoh 1
Hitunglah nilai rata-rata dari nilai ujian matematika kelas 3 SMU berikut ini: 2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9
Jawab : 2+ 4+ 5+ 6+ 6+ 7+ 7+ 7+ 8+ 9           = 6,1
                        10

Contoh 2
xi
fi
70
5
69
6
45
3
80
1
56
1
Catatan: Tabel frekuensi pada tabel di atas merupakan tabel frekuensi untuk data tunggal, bukan tabel frekuensi dari data yang sudah dikelompokkan berdasarkan selang/kelas tertentu.
Jawab:
xi
fi
fixi
70
5
350
69
6
414
45
3
135
80
1
80
56
1
56
Jumlah
16
1035

Mean = jumlah fi.xi
           Jumlah fi
Mean = 1035/16 = 64,6

2.    Median
Median dari n pengukuran atau pengamatan x1, x2 ,..., xn adalah nilai pengamatan yang terletak di tengah gugus data setelah data tersebut diurutkan. Apabila banyaknya pengamatan (n) ganjil, median terletak tepat ditengah gugus data, sedangkan bila n genap, median diperoleh dengan cara interpolasi yaitu rata-rata dari dua data yang berada di tengah gugus data.
Berat badan
Frekuensi (fi)
Frekuensi kumulatif (fk)
46 – 50
3
3
51 – 55
2
5
56 – 60
4
9
61 – 65
5
14
66 – 70
6
20
71 – 75
4
24
76 – 80
1
25
81 - 85
1
26
Me = xii +n/2 – fki    p
                Fi

Batas bawah kelas interval (xii) = 60,5
Jumlah data (n) = 26
Frek kumulatif data sebelum kelas me = 9
Frek (fi) = 5
Panjang kelas (p) = 5
Jawab :
Me =60,5 +(26/2 – 9) . 5
                         5
       =60,5 + 4
       =64,5
3.    Modus
adalah data yang paling sering muncul/terjadi. Untuk menentukan modus, pertama susun data dalam urutan meningkat atau sebaliknya, kemudian hitung frekuensinya. Nilai yang frekuensinya paling besar (sering muncul) adalah modus.
Nilai statistik
Frekuensi
51 – 55
5
56 – 60
6
61 – 65
14
66 – 70
27
71 – 75
21
76 – 80
5
81 – 85
3

Mo = b +  p
b( kelas bawah kelas interval dengan frekuensi terbanyak) = 65,5
p ( panjang kelas interval ) = 5
b1( frek trbanyak – frek kelas sebelum mo) = 13
b2( frek terbanyak – frek kelas sesudah mo) = 6
Mo = 65,5 + 13     .  5
                   13+6
       = 65,5 + 13/19 .  5
        = 68,95

Daftar Mahasiswa Mata Kuliah Statistika Manajemen B STIESS KENDAL

No
Nama
NIM
Hobby
1
Abdul Ghofur
2113001
Makan
2
Abdul Khanif
2113002
Mancing
3
A. Qowi Santoso
2113003
Renang
4
Arif Kurnia Rachman
2113007
Utak atik
5
Deni Fardiansyah
2113010
Jalan-jalan
6
Dian Maharani
2113012
Dandan
7
Dian Tri Utami
2113013
Baca
8
Dwi Nur Fatoni
2113014
Mancing
9
Dwi Santoso
2113015
Olah raga
10
Farida Aryani
2113017
Masak
11
Fery Sulaksono
2113019
Jalan-jalan
12
Hidayatul Muthoyibah
2113021
Menulis
13
Ifadatul Rizqi Rahayu
2113023
Dengerin musik
14
Imam Ghazali
2113024
Mancing mania
15
Imas Julaeha
2113025
Membaca
16
Irkham Fathoni
2113026
Berkebun
17
Kamdani
2113027
Pramuka
18
Mohammad Subkhan
2113033
Macul
19
Samsul Ma'arif
2113042
Mblandong
20
Abdul Fatah
2113050
Mangkal
21
Ahmad Saifulloh
2113053
Usil
22
Akhmad Sobiron
2113059
Mancing mania
23
Ali Anwar
2113060
Nambak
24
Azis Hidayat
2113061
Musik
25
Bellya Yuliarti
2113063
Main
26
Desti Rintanti
2113064
Masak
27
Dwi Kiswanto
2113065
Sepeda
28
Faza Dzustiyaqi
2113066
Mengaji
29
Nuryanto
2113094
Menjahit
30
Andika Kusudiharjo
2113097
Main musik

31
Deni ferdiansah
2113010
shooping

tugas statistika

Tugas Bab 6

BAB 6

DISTRIBUSI NORMAL, DISTRIBUSI T

& DISTRIBUSI  F

1.     Distribusi Normal

Distribusi normal menggunakan variabel acak kontinu. Distribusi normal sering disebut DISTRIBUSI GAUSS. Distribusi ini merupakan salah satu yang paling penting dan banyak digunakan. Distribusi ini menyerupai BENTUK LONCENG (BELL SHAPE) dengan nilai rata-rata X sebagai sumbu simetrisnya.

 

Variabel acak kontinu x mempunyai fungsi densitas pada X = x dinyatakn dengan persamaan : 

Dengan :

p = Nila konstan yang ditulis hingga 4 desimal p = 3,1316

e = Bilangan konstan, bila ditulis hingga 4 desimal, e = 2,7183

µ = Parameter, merupakan rata-rata untuk distribusi

σ = Parameter, merupakan simpangan baku untuk distibusi

Jika nilai x mempunyai btas nilai ⎼∞<x<∞, maka dikatakan bahwa variabel acak X berdistribusi normal.

Sifat-sifat penting dari distribusi Normal adalah :

·         Grafik selalu diatas sumbu-X (horisontal)

·         Bentuk simetris terhadap sumbu-Y pada X = µ

·         Mempunyai modus pada X = µ sebesar 0,3989/ σ

·         Grafik mendekati sumbu X pada X = µ-3 µ dan X = µ+3µ

·         Kurva normal digunakan sebagai acuan pengujian hipotesis jika ukuran sempel n≥30

·         Luas daerah yang dibatasi oleh smbu-X dan kurva normal sama dengan satu satuan luas

Untuk tiap pasang μ dan σ, sifat-sifat di atas selalu dipenuhi, hanya bentuk kurvanya saja yang berlainan. Jika σ makin besar, kurvanya makin rendah (platikurtik) dan untuk σ makin kecil, kurvanya makin tinggi (leptokurtik).

u

untuk megubah Distribusi Normal Umum menjadi Distribusi Normal Baku di gunakan rumus :

 

Perubahan grafik dapat dilihat dalam gambar berikut :

 

Fenomena distribusi data normal :

• Kira-kira 68,27% dari kasus ada dalam daerah satu simpangan baku sekitar rata-    rata, yaitu antara μ - σ dan μ + σ.

• Ada 95,45% dari kasus terletak dalam daerah dua simpangan baku sekitar rata-      rata, yaitu antara μ - 2σ dan μ + 2σ.

• Hampir 99,73% dari kasus ada dalam daerah tiga simpangan baku sekitar rata-       rata, yaitu antara μ - 3σ dan μ + 3σ.

Jenis bentuk kurva yang diakibatkan oleh perbedaan rentangan nilai dan simpangan baku ada tiga macam:

1. Leptokurtik, merupakan bentuk kurva normal yang meruncing tinggi karena perbedaan frekuensi pada skor-skor yang mendekati rata-rata sangat kecil.

2. Platykurtic, merupakan kurva normal yang mendatar rendah karena perbedaan frekuensi pada skor-skor yang mendekati rata-rata sangat kecil.

3. Normal, merupakan bentuk kurva normal yang biasa, artinya bentuknya merupakan bentuk antara leptokurtic dan platykurtic, karena penyebaran skor biasa dan tidak terjadi kejutan-kejutan yang berati.

2.      Distribusi F

Merupakan  distribusi variabel acak Kontinu. Fungsi densitasnya mempunyai persamaan :

Dimana :

F = Variabel acak yang memenuhi F>0

K = bilanan tetap yang harganya pada derajat kebebasan v₁ dan v₂

V₁  = Derajat kebebasan antara varians rata-rata sampel (sebagai pembilang)

V₂ = derajat kebebasan dalam keseluruhan sampel (sebagai penyebut)

Luas dibawah kurva satu.

Daftar distribusi normal berisikan nilai-nilai F untuk peluang 0,01 dan 0,05 dengan

derajat kekebasan v1 dan v2. Peluang ini sama dengan luas daerah ujung kanan yang

diarsir, sedangkan derajat kekebasan pembilang (v1 ) ada pada baris paling atas dan

derajat kebebasan penyebut (v2) pada kolom paling kiri.

 

Notasi lengkap untuk nilai-nilai F dari daftar distribusi F dengan peluang p dan dk = (v1,v2) adalah Fp(v1,v2). Demikianlah untuk contoh kita didapat :

F_0.05(24,8) = 3.12 dan F_0,01(24,8 )= 5.28.

Meskipun daftar yang diberikan hanya untuk peluang p = 0.05 dan p = 0.01, tetapi sebenarnya masih bisa didapat nilai-nilai F dengan peluang 0,99 dan 0,95. Untuk ini digunakan hubungan :

 

Dalam rumus diatas perhatikan antara p dan (1- p) dan pertukaran antara derajat kebebasan (v_1, v₂ ) menjadi (v₂, v₁).

3.      Distribusi T

Distribusi dengan variabel acak kontinu lainnya selain dari distribusi normal ialah DISTRIBUSI STUDENT ATAU DISTRIBUSI - t. Fungsi densitasnya adalah :

Berlaku untuk harga-harga t yang memenuhi ⎼∞<t<∞ K merupakan bilangan tetap yang besarnya bergantung pada n sedemikian sehingga luas daerah di bawah kurva sama dengan satu unit.

Pada distribusi t ini terdapat bilangan (n-1) yang dinamakan derajat kebebasan, akan disingkat dengan dk.

Bentuk kurva-t identik dengan bentuk kurva normal, tetapi kurtosisnya ditentukan oleh besar kecilnya derajat kebebasan df. Untuk n ≥ 30 pola distribusi t mendekati pola distribusi normal.

 

Dalam tabel distribusi-t kolom paling kiri berisikan derajat kebebasan (dk), baris teratas berisikan nilai peluang.

Gambar dibawah ini merupakan grafik distribusi-t dengan dk = ( n – 1 ). Luas bagian yang diarsir = p dan dibatasi paling kanan oleh tp. Harga tp inilah yang dicari dari daftar untuk pasangan dk dan p yang diberikan.

Daftar pustaka

Irianto, Agus. 2008. Statistik Konsep Dasar dan Aplikasinya. Jakarta: Kencana.

Hasan, Iqbal. 2006. Analisis Data Penelitian dengan Statistik. Jakarta: Bumi Aksara.

Riduwan. Dasar-Dasar Statistika. 2005. Bandung : Alfabeta.

Sudjana. 2002. Metoda Statistika edisi ke 6. Bandung: Tarsito.

Tedjo N Raksonoatmodjo. 2009. Statistika Teknik. Jakarta : Refilka Aditama